Esperanza, Varianza y Desviación Estándar

Varianza

La Varianza de unos datos es la media aritmetica del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de la misma. Se simboliza como σ2 y se calcula aplicando la fórmula:

σ2=∑i=1N(xi−x¯)2N=(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+…+(xN−x¯)2N

que se puede simplificar como: 

σ2=∑i=1Nx2iN−x¯2=x21+x22+…+x2NN−x¯2

 Del mismo modo que para la media, no siempre será posible encontrar la varianza, y es un parámetro muy sensible a las puntuaciones extremas. Se puede observar que al estar la desviación elevada al cuadrado, la varianza no puede tener las mismas unidades que los datos.

Comparando con el mismo tipo de datos, un varianza elevada significa que los datos están más dispersos. Mientras que un valor de la varianza bajo indica que los valores están por lo general más próximos a la media.

Un valor de la varianza igual a cero implica que todos los valores son iguales, y por lo tanto también coinciden con la media aritmética.

Propiedades de la varianza:

·        σ2≥ La varianza es un valor positivo, como ya se ha comentado anteriormente, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.

·        Si a todos los datos se les suma una constante, la varianza sigue siendo la misma.

·        Si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.

·        Si se disponen de varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas varianzas, se puede hallar la varianza total aplicando la fórmula

σ2=σ21+σ22+…+σ2nn

En el caso de que las distribuciones tengan distinto tamaño, la fórmula se pondera y queda como

σ2=σ21k1+σ22k2+…+σ2nknk1+k2+…+kn

Ejemplo 1

La altura en cm de los estudiantes de la Facultad de Medicina está en la siguiente tabla. Calcular la varianza.

	xi	fi
[160,170)	165	1
[170,180)	175	2
[180,190)	185	4
[190,200)	195	3
[200,210)	205	2

	xi	fi	xifi	x2ifi
[160,170)	165	1	165	27225
[170,180)	175	2	350	61250
[180,190)	185	4	740	136900
[190,200)	195	3	585	114075
[200,210)	205	2	410	84050
		12	2250	423500

Se debe calcular la media

x¯=225012=187.5

para poder aplicar la fórmula.

Se calcula entonces la varianza

ω2=42350012−187.52=135.42

Ejemplo 2

En un examen de Anatomía de los estudiantes de Odontología, todos los alumnos de la clase sacaron un diez. Hallar la varianza de las notas.

Al coincidir todos los valores la media coincide también con ellos x¯=10, y la varianza es nula σ2=0.

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR 

Es una medida de la cantidad típica en la que los valores del conjunto de datos difieren de la media. Es la medida de dispersión más utilizada, se le llama también desviación típica. La desviación estándar siempre se calcula con respecto a la media y es un mínimo cuando se estima con respecto a este valor.

Se calcula de forma sencilla, si se conoce la varianza, por cuanto que es la raíz cuadrada positiva de esta. A la desviación se le representa por la letra minúscula griega "sigma" (δ) ó por la letra S mayúscula, según otros analistas

Cálculo de la Desviación Estándar

δ = √δ2 ó S = √S2

Propiedades de la Desviación Estándar:

A su vez la desviación estándar, también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza):

·        La desviación estándar es siempre un valor no negativo S será siempre ³ 0 por definición. Cuando S = 0 è X = xi (para todo i).

·        Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.

·        La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable

·        Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar no varía.

·        Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación estándar queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante. 

Ejemplo:

1.- Del calculo de la varianza de las edades de cinco estudiantes universitarios de segundo semestre de Nutrición  se obtuvo δ2=23.45 como la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva, entonces δ = √23.45= 4,8 años.

2.- Igual procedimiento  se aplica para encontrar le desviación estándar de las cuentas por pagar del Laboratorio Biomerca, recordemos que la varianza obtenida fue de 566.000, luego entonces la desviación estándar es igual a δ =√566000 = 752,3 bolívares. 

ESPERANZA MATEMÀTICA

En estadistica  la esperanza matemática (también llamada esperanza,valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria, es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

Propiedades:

Constantes

La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir, si c es una constante, entonces E[c] = c.

Linealidad

La esperanza es un operador lineal ya que:

Por ende:

Ejemplos:

1.- Luis Sánchez  tira un dado el valor esperado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmetica.

2.- Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".